جدول التكاملات الشامل
دليل مرجعي كامل للتكاملات غير المحدودة - أكثر من 100 صيغة
تكاملات أساسية
| الدالة f(x) | التكامل ∫f(x)dx | النطاق |
|---|---|---|
| \(k\) (ثابت) | \(kx + C\) | جميع الأعداد الحقيقية |
| \(x^n\) (حيث \(n ≠ -1\)) | \(\displaystyle\frac{x^{n+1}}{n+1} + C\) | \(x ≥ 0\) إذا كان \(n < 0\)، وإلا جميع الأعداد الحقيقية |
| \(\displaystyle\frac{1}{x}\) | \(\ln|x| + C\) | \(x ≠ 0\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(\displaystyle\frac{2x^{3/2}}{3} + C\) | \(x ≥ 0\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}\) | \(2\sqrt{x} + C\) | \(x > 0\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{x^2}\) | \(-\displaystyle\frac{1}{x} + C\) | \(x ≠ 0\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{x^3}\) | \(-\displaystyle\frac{1}{2x^2} + C\) | \(x ≠ 0\) |
| \(x^{1/2}\) | \(\displaystyle\frac{2x^{3/2}}{3} + C\) | \(x ≥ 0\) |
| \(x^{-1/2}\) | \(2x^{1/2} + C\) | \(x > 0\) |
| \(x^{1/3}\) | \(\displaystyle\frac{3x^{4/3}}{4} + C\) | جميع الأعداد الحقيقية |
الدوال الأسية واللوغاريتمية
| الدالة f(x) | التكامل ∫f(x)dx | النطاق |
|---|---|---|
| \(e^x\) | \(e^x + C\) | جميع الأعداد الحقيقية |
| \(a^x\) (حيث \(a > 0, a ≠ 1\)) | \(\displaystyle\frac{a^x}{\ln a} + C\) | جميع الأعداد الحقيقية |
| \(e^{ax}\) (حيث \(a ≠ 0\)) | \(\displaystyle\frac{e^{ax}}{a} + C\) | جميع الأعداد الحقيقية |
| \(\ln x\) | \(x \ln x - x + C\) | \(x > 0\) |
| \(\log_a x\) (حيث \(a > 0, a ≠ 1\)) | \(\displaystyle\frac{x \ln x - x}{\ln a} + C\) | \(x > 0\) |
| \(xe^x\) | \((x-1)e^x + C\) | جميع الأعداد الحقيقية |
| \(x^2e^x\) | \((x^2-2x+2)e^x + C\) | جميع الأعداد الحقيقية |
| \(e^{ax}\sin(bx)\) | \(\displaystyle\frac{e^{ax}(a\sin(bx) - b\cos(bx))}{a^2 + b^2} + C\) | جميع الأعداد الحقيقية |
| \(e^{ax}\cos(bx)\) | \(\displaystyle\frac{e^{ax}(a\cos(bx) + b\sin(bx))}{a^2 + b^2} + C\) | جميع الأعداد الحقيقية |
| \(\displaystyle\frac{\ln x}{x}\) | \(\displaystyle\frac{(\ln x)^2}{2} + C\) | \(x > 0\) |
| \((\ln x)^n\) | \(x(\ln x)^n - n\int (\ln x)^{n-1} dx\) | \(x > 0\) |
| \(e^{-x^2}\) | \(\displaystyle\frac{\sqrt{\pi}}{2}\text{erf}(x) + C\) | جميع الأعداد الحقيقية |
الدوال المثلثية
| الدالة f(x) | التكامل ∫f(x)dx | النطاق |
|---|---|---|
| \(\sin x\) | \(-\cos x + C\) | جميع الأعداد الحقيقية |
| \(\cos x\) | \(\sin x + C\) | جميع الأعداد الحقيقية |
| \(\tan x\) | \(-\ln|\cos x| + C\) | \(x ≠ \frac{\pi}{2} + \pi n\) |
| \(\cot x\) | \(\ln|\sin x| + C\) | \(x ≠ \pi n\) |
| \(\sec x\) | \(\ln|\sec x + \tan x| + C\) | \(x ≠ \frac{\pi}{2} + \pi n\) |
| \(\csc x\) | \(-\ln|\csc x + \cot x| + C\) | \(x ≠ \pi n\) |
| \(\sec^2 x\) | \(\tan x + C\) | \(x ≠ \frac{\pi}{2} + \pi n\) |
| \(\csc^2 x\) | \(-\cot x + C\) | \(x ≠ \pi n\) |
| \(\sec x \tan x\) | \(\sec x + C\) | \(x ≠ \frac{\pi}{2} + \pi n\) |
| \(\csc x \cot x\) | \(-\csc x + C\) | \(x ≠ \pi n\) |
| \(\sin^2 x\) | \(\displaystyle\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C\) | جميع الأعداد الحقيقية |
| \(\cos^2 x\) | \(\displaystyle\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C\) | جميع الأعداد الحقيقية |
| \(\sin x \cos x\) | \(\displaystyle\frac{\sin^2 x}{2} + C\) | جميع الأعداد الحقيقية |
| \(\sin^3 x\) | \(-\cos x + \displaystyle\frac{\cos^3 x}{3} + C\) | جميع الأعداد الحقيقية |
| \(\cos^3 x\) | \(\sin x - \displaystyle\frac{\sin^3 x}{3} + C\) | جميع الأعداد الحقيقية |
| \(\tan^2 x\) | \(\tan x - x + C\) | \(x ≠ \frac{\pi}{2} + \pi n\) |
| \(\sin(ax)\) | \(-\displaystyle\frac{\cos(ax)}{a} + C\) | جميع الأعداد الحقيقية، \(a ≠ 0\) |
| \(\cos(ax)\) | \(\displaystyle\frac{\sin(ax)}{a} + C\) | جميع الأعداد الحقيقية، \(a ≠ 0\) |
| \(\sin^n x\) | \(-\displaystyle\frac{\sin^{n-1} x \cos x}{n} + \frac{n-1}{n}\int \sin^{n-2} x dx\) | جميع الأعداد الحقيقية |
| \(\cos^n x\) | \(\displaystyle\frac{\cos^{n-1} x \sin x}{n} + \frac{n-1}{n}\int \cos^{n-2} x dx\) | جميع الأعداد الحقيقية |
الدوال المثلثية العكسية
| الدالة f(x) | التكامل ∫f(x)dx | النطاق |
|---|---|---|
| \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | \(\arcsin x + C\) | \(-1 < x < 1\) |
| \(\displaystyle-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | \(\arccos x + C\) | \(-1 < x < 1\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{1+x^2}\) | \(\arctan x + C\) | جميع الأعداد الحقيقية |
| \(\displaystyle-\frac{1}{1+x^2}\) | \(\text{arccot } x + C\) | جميع الأعداد الحقيقية |
| \(\displaystyle\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\) | \(\text{arcsec } |x| + C\) | \(|x| > 1\) |
| \(\arcsin x\) | \(x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C\) | \(-1 ≤ x ≤ 1\) |
| \(\arccos x\) | \(x \arccos x - \sqrt{1-x^2} + C\) | \(-1 ≤ x ≤ 1\) |
| \(\arctan x\) | \(x \arctan x - \displaystyle\frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C\) | جميع الأعداد الحقيقية |
| \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\) | \(\arcsin\displaystyle\frac{x}{a} + C\) | \(|x| < a\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{a^2+x^2}\) | \(\displaystyle\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C\) | جميع الأعداد الحقيقية، \(a ≠ 0\) |
الدوال الزائدية
| الدالة f(x) | التكامل ∫f(x)dx | النطاق |
|---|---|---|
| \(\sinh x\) | \(\cosh x + C\) | جميع الأعداد الحقيقية |
| \(\cosh x\) | \(\sinh x + C\) | جميع الأعداد الحقيقية |
| \(\tanh x\) | \(\ln(\cosh x) + C\) | جميع الأعداد الحقيقية |
| \(\coth x\) | \(\ln|\sinh x| + C\) | \(x ≠ 0\) |
| \(\text{sech}^2 x\) | \(\tanh x + C\) | جميع الأعداد الحقيقية |
| \(\text{csch}^2 x\) | \(-\coth x + C\) | \(x ≠ 0\) |
| \(\sinh^2 x\) | \(\displaystyle\frac{\sinh 2x}{4} - \frac{x}{2} + C\) | جميع الأعداد الحقيقية |
| \(\cosh^2 x\) | \(\displaystyle\frac{\sinh 2x}{4} + \frac{x}{2} + C\) | جميع الأعداد الحقيقية |
| \(\text{sech } x\) | \(\arctan(\sinh x) + C\) | جميع الأعداد الحقيقية |
| \(\text{csch } x\) | \(\ln\left|\tanh\displaystyle\frac{x}{2}\right| + C\) | \(x ≠ 0\) |
الدوال الكسرية
| الدالة f(x) | التكامل ∫f(x)dx | النطاق |
|---|---|---|
| \(\displaystyle\frac{1}{ax + b}\) | \(\displaystyle\frac{\ln|ax + b|}{a} + C\) | \(x ≠ -\frac{b}{a}, a ≠ 0\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{(ax + b)^2}\) | \(-\displaystyle\frac{1}{a(ax + b)} + C\) | \(x ≠ -\frac{b}{a}, a ≠ 0\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{x^2 + a^2}\) | \(\displaystyle\frac{1}{a} \arctan\frac{x}{a} + C\) | جميع الأعداد الحقيقية، \(a ≠ 0\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{x^2 - a^2}\) | \(\displaystyle\frac{1}{2a} \ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C\) | \(x ≠ ±a, a ≠ 0\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{a^2 - x^2}\) | \(\displaystyle\frac{1}{2a} \ln\left|\frac{a+x}{a-x}\right| + C\) | \(x ≠ ±a, a ≠ 0\) |
| \(\displaystyle\frac{x}{x^2 + a^2}\) | \(\displaystyle\frac{1}{2}\ln(x^2 + a^2) + C\) | جميع الأعداد الحقيقية |
| \(\displaystyle\frac{x}{x^2 - a^2}\) | \(\displaystyle\frac{1}{2}\ln|x^2 - a^2| + C\) | \(x ≠ ±a\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{(x^2 + a^2)^2}\) | \(\displaystyle\frac{x}{2a^2(x^2 + a^2)} + \frac{1}{2a^3}\arctan\frac{x}{a} + C\) | جميع الأعداد الحقيقية، \(a ≠ 0\) |
| \(\displaystyle\frac{x^2}{x^2 + a^2}\) | \(x - a\arctan\displaystyle\frac{x}{a} + C\) | جميع الأعداد الحقيقية، \(a ≠ 0\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{x(x+a)}\) | \(\displaystyle\frac{1}{a}\ln\left|\frac{x}{x+a}\right| + C\) | \(x ≠ 0, -a\) |
الدوال الجذرية
| الدالة f(x) | التكامل ∫f(x)dx | النطاق |
|---|---|---|
| \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}}\) | \(\ln(x + \sqrt{x^2 + a^2}) + C\) | جميع الأعداد الحقيقية |
| \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}\) | \(\ln|x + \sqrt{x^2 - a^2}| + C\) | \(|x| > a\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}\) | \(\arcsin\displaystyle\frac{x}{a} + C\) | \(|x| < a\) |
| \(\sqrt{a^2 - x^2}\) | \(\displaystyle\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + C\) | \(-a ≤ x ≤ a\) |
| \(\sqrt{x^2 + a^2}\) | \(\displaystyle\frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2} + \frac{a^2}{2}\ln(x + \sqrt{x^2+a^2}) + C\) | جميع الأعداد الحقيقية |
| \(\sqrt{x^2 - a^2}\) | \(\displaystyle\frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2} - \frac{a^2}{2}\ln|x + \sqrt{x^2-a^2}| + C\) | \(|x| ≥ a\) |
| \(\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}}\) | \(\sqrt{x^2 + a^2} + C\) | جميع الأعداد الحقيقية |
| \(\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2 - a^2}}\) | \(\sqrt{x^2 - a^2} + C\) | \(|x| > a\) |
| \(\displaystyle\frac{x}{\sqrt{a^2 - x^2}}\) | \(-\sqrt{a^2 - x^2} + C\) | \(|x| < a\) |
| \(\sqrt{ax + b}\) | \(\displaystyle\frac{2(ax + b)^{3/2}}{3a} + C\) | \(ax + b ≥ 0, a ≠ 0\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{ax + b}}\) | \(\displaystyle\frac{2\sqrt{ax + b}}{a} + C\) | \(ax + b > 0, a ≠ 0\) |
| \(x\sqrt{x^2 + a^2}\) | \(\displaystyle\frac{(x^2 + a^2)^{3/2}}{3} + C\) | جميع الأعداد الحقيقية |
حاصل ضرب x مع دوال أخرى
| الدالة f(x) | التكامل ∫f(x)dx | النطاق |
|---|---|---|
| \(x\sin x\) | \(\sin x - x\cos x + C\) | جميع الأعداد الحقيقية |
| \(x\cos x\) | \(\cos x + x\sin x + C\) | جميع الأعداد الحقيقية |
| \(x^2\sin x\) | \((2 - x^2)\cos x + 2x\sin x + C\) | جميع الأعداد الحقيقية |
| \(x^2\cos x\) | \((x^2 - 2)\sin x + 2x\cos x + C\) | جميع الأعداد الحقيقية |
| \(x \ln x\) | \(\displaystyle\frac{x^2 \ln x}{2} - \frac{x^2}{4} + C\) | \(x > 0\) |
| \(x^2 \ln x\) | \(\displaystyle\frac{x^3 \ln x}{3} - \frac{x^3}{9} + C\) | \(x > 0\) |
| \(x^n \ln x\) | \(\displaystyle\frac{x^{n+1} \ln x}{n+1} - \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2} + C\) | \(x > 0, n ≠ -1\) |
| \(x \arcsin x\) | \(\displaystyle\frac{x^2 \arcsin x}{2} + \frac{\sqrt{1-x^2}}{2} - \frac{x}{2} + C\) | \(-1 ≤ x ≤ 1\) |
| \(x \arctan x\) | \(\displaystyle\frac{x^2 \arctan x}{2} - \frac{x}{2} + \frac{\arctan x}{2} + C\) | جميع الأعداد الحقيقية |
| \(x \sinh x\) | \(x \cosh x - \sinh x + C\) | جميع الأعداد الحقيقية |
| \(x \cosh x\) | \(x \sinh x - \cosh x + C\) | جميع الأعداد الحقيقية |
| \(x^n e^{ax}\) | \(\displaystyle\frac{x^n e^{ax}}{a} - \frac{n}{a}\int x^{n-1} e^{ax} dx\) | جميع الأعداد الحقيقية، \(a ≠ 0\) |
| \(x^3 e^x\) | \((x^3 - 3x^2 + 6x - 6)e^x + C\) | جميع الأعداد الحقيقية |
| \(x\tan x\) | \(x\ln|\cos x| + \displaystyle\frac{x^2}{2} + C\) | \(x ≠ \frac{\pi}{2} + \pi n\) |
قواعد التكامل الأساسية
الخطية:
\(\displaystyle\int [af(x) + bg(x)] dx = a\int f(x) dx + b\int g(x) dx\)
\(\displaystyle\int [af(x) + bg(x)] dx = a\int f(x) dx + b\int g(x) dx\)
التكامل بالتجزئة:
\(\displaystyle\int u \, dv = uv - \int v \, du\)
\(\displaystyle\int u \, dv = uv - \int v \, du\)
التعويض:
\(\displaystyle\int f(\varphi(x))\varphi'(x) dx = \int f(u) du\)، حيث \(u = \varphi(x)\)
\(\displaystyle\int f(\varphi(x))\varphi'(x) dx = \int f(u) du\)، حيث \(u = \varphi(x)\)
الدوال الزوجية:
\(\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2\int_{0}^{a} f(x) dx\) (إذا كان \(f(-x) = f(x)\))
\(\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2\int_{0}^{a} f(x) dx\) (إذا كان \(f(-x) = f(x)\))
الدوال الفردية:
\(\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0\) (إذا كان \(f(-x) = -f(x)\))
\(\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0\) (إذا كان \(f(-x) = -f(x)\))
النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل:
\(\displaystyle\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)\)، حيث \(F'(x) = f(x)\)
\(\displaystyle\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)\)، حيث \(F'(x) = f(x)\)
لم يتم العثور على نتائج
حاول تعديل استعلام البحث الخاص بك أو مسح حقل البحث
التفسير الهندسي للتكامل
مرجع شامل للتكامل الرياضي
يوفر جدول التكاملات هذا دليلاً مرجعياً كاملاً للتكاملات غير المحدودة للدوال الرياضية الشائعة. ينظم الجدول صيغ التكامل حسب نوع الدالة، بما في ذلك كثيرات الحدود الأساسية، والدوال الأسية واللوغاريتمية، والدوال المثلثية، والدوال المثلثية العكسية، والتعبيرات المتقدمة التي تتضمن الجذور والدوال الكسرية.
الصيغة العامة للتكامل:
∫ f(x)dx = F(x) + C
حيث F(x) هي الدالة الأصلية لـ f(x) و C هو ثابت التكامل.
∫ f(x)dx = F(x) + C
حيث F(x) هي الدالة الأصلية لـ f(x) و C هو ثابت التكامل.
يتضمن كل إدخال في الجدول المرجعي الدالة الأصلية f(x)، وتكاملها المقابل ∫f(x)dx، ونطاق الصلاحية. يغطي الجدول قواعد التكامل الأساسية، وتطبيقات قاعدة القوة، والمتطابقات المثلثية، وتكاملات اللوغاريتمات والأسس، والتقنيات المتقدمة للتعبيرات الجذرية.
فئات الدوال المشمولة
الدوال الأساسية
الثوابت، القوى xn، المقادير المقلوبة 1/x، الجذور التربيعية √x
الأسية واللوغاريتمية
ex, ax, ln(x), loga(x), xex
المثلثية
sin(x), cos(x), tan(x), sec2(x), sin2(x), cos2(x)
المثلثية العكسية
1/√(1-x2), 1/(1+x2), arcsin(x), arctan(x)
التعبيرات المتقدمة
√(a2-x2), 1/√(x2±a2)، الدوال الكسرية
أمثلة على استخدام الجدول المرجعي
- البحث عن ∫x3dx = x4/4 + C لتكامل كثيرات الحدود
- إيجاد ∫e2xdx = e2x/2 + C للدوال الأسية
- الرجوع إلى ∫sin(x)dx = -cos(x) + C للتكامل المثلثي
- التحقق من ∫1/√(1-x2)dx = arcsin(x) + C للدوال المثلثية العكسية
- تحديد موقع ∫ln(x)dx = x ln(x) - x + C للدوال اللوغاريتمية
- إيجاد ∫1/(x2+4)dx = (1/2)arctan(x/2) + C للتعبيرات الكسرية
- البحث عن ∫√(9-x2)dx لصيغ تكامل الجذور
- الرجوع إلى ∫x·cos(x)dx = cos(x) + x·sin(x) + C للنواتج
- التحقق من ∫sec2(x)dx = tan(x) + C لدوال القاطع
- إيجاد ∫1/√(x2+1)dx = ln(x + √(x2+1)) + C للأشكال الزائدية
يتضمن المرجع قيود النطاق لكل تكامل، وقواعد التكامل مثل الخطية وطرق التعويض، وتمثيلاً بصرياً يوضح التكامل كالمساحة تحت المنحنى. تتيح وظيفة البحث إمكانية الوصول السريع إلى أنواع معينة من الدوال أو التعبيرات الرياضية.