تحسب باقي القسمة الصحيحة بثلاثة اوضاع: اساسي وحسابات الساعة والاس المعياري.
شرح خطوة بخطوة
أدخل القيم لرؤية التفاصيل.
الساعات مثال كلاسيكي للتقسيم المعياري: بعد 25 ساعة على ساعة 12 ساعة، تشير العقرب إلى الموضع 1. الساعات السالبة تعدّ للخلف؛ لـ mod 12 نستخدم قاعدة إقليدس حتى تبقى النتيجة دائماً بين 0 و11.
يحسب (الأساسالأس) mod m بالأسّ السريع باستخدام BigInt. يُستخدم في RSA وDiffie–Hellman واختبارات الأولية.
الاصطلاحات الثلاثة لعملية الباقي
عندما يكون المقسوم a سالباً، تختلف لغات البرمجة في ما يجب أن يُرجعه a mod b. النتائج الثلاثة أدناه صحيحة — تستخدم فقط قواعد مختلفة.
مقتطع (C، C++، JS، Java)
يستخدم q = trunc(a/b)، تقريب نحو الصفر. الباقي يأخذ إشارة المقسوم. مثال: -17 % 5 = -2.
أرضي (Python، Ruby)
يستخدم q = floor(a/b)، تقريب نحو −∞. الباقي يأخذ إشارة المقسوم عليه. مثال: -17 % 5 = 3.
إقليدي (mod الرياضياتي)
يُرجع دائماً باقياً غير سالب في النطاق [0, |b|). هذه هي الاتفاقية المستخدمة في نظرية الأعداد. مثال: -17 mod 5 = 3.
الأسئلة الشائعة
لماذا تعطي لغات مختلفة نتائج مختلفة للأعداد السالبة؟
a = b*q + r، لكن المعيار يترك إشارة r للغة. C وC++ وJava وJavaScript تقتطع الحاصل نحو الصفر، فيحتفظ الباقي بإشارة a. Python وRuby تقرّبان نحو −∞، فيحتفظ الباقي بإشارة b. كلاهما يُحقق المعادلة — فقط يختاران خارج قسمة مختلفاً.أيّ اصطلاح يجب أن أستخدم؟
[0, b)، استخدم mod الإقليدي. لفهرسة المصفوفة مع الالتفاف (كالمخزن الحلقي) يُفضَّل الأسلوب الأرضي. لمحاكاة سلوك C بدقة، استخدم المقتطع.ما هو اختبار القسمة وكيف يتحقق منه الحاسبة؟
a قابل للقسمة على b عندما يكون a mod b = 0. مثال: 100 يقبل القسمة على 5 (100 mod 5 = 0) لكنه لا يقبل القسمة على 7 (100 mod 7 = 2).أين يُستخدم الباقي في الواقع العملي؟
hash(المفتاح) mod N. التشفير (RSA، Diffie–Hellman) يعتمد على الحسابات المعيارية. حسابات الوقت والتاريخ تستخدم mod 7 وmod 24 وmod 60. مجاميع التحقق كـ ISBN وLuhn تستخدم mod 10 أو mod 11.هل تتعامل الحاسبة مع الأعداد الكبيرة جداً؟
123456789987 mod (109+7) فوراً.ما هو الأس المعياري ولماذا هو فعّال؟
(الأساسالأس) mod m دون بناء القوة الوسيطة الضخمة. تستخدم الخوارزمية التوسع الثنائي للأس: O(log الأس) ضرب BigInt — كافٍ لمفاتيح RSA ذات 2048 بتاً.للاستخدام التعليمي والتطويري. النتائج دقيقة للمدخلات الصحيحة ضمن نطاق BigInt.
الباقي هو القيمة المتبقية بعد قسمة عدد صحيح a على b. مثال: 17 mod 5 = 2. مع الاعداد السالبة تختلف اللغات: -17 mod 5 يساوي -2 في C/JS (مقتطع)، 3 في Python (ارضي)، و3 رياضيا (اقليدي). تعرض هذه الحاسبة النتائج الثلاثة في آن واحد. يوضح وضع الساعة كيف ان 14 + 5 mod 12 = 7. يحسب تبويب الاس المعياري (الاساس^الاس) mod m بحسابات BigInt، اساسية في تشفير RSA وDiffie-Hellman.