تحسب اللوغاريتمات بأي أساس، وتجد الأساس أو المتغير المجهول وتحسب القوى. تتضمن صيغة تغيير الأساس وجدول مرجعي.
حساب log_b(x)
إيجاد الأساس: log_b(x) = y
بمعرفة x و y، يجد b بحيث b^y = x
إيجاد المتغير: log_b(x) = y
بمعرفة b و y، يجد x = b^y
الأس: b^y = ?
رفع الأساس b إلى القوة y (عكس اللوغاريتم)
النتيجة
صيغة تغيير الأساس
يمكن التعبير عن أي لوغاريتم بأساس آخر:
الأكثر شيوعًا: استخدام اللوغاريتم الطبيعي (ln) — log_b(x) = ln(x) / ln(b)
جدول القيم الشائعة
| x | log_2(x) | log_10(x) | ln(x) |
|---|
حول اللوغاريتمات
ما هو اللوغاريتم؟
اللوغاريتم يجيب عن السؤال: إلى أي قوة يجب رفع الأساس للحصول على عدد معين؟ إذا كان b^y = x، فإن log_b(x) = y.
مثال: 2^3 = 8، إذن log_2(8) = 3.
اللوغاريتم الطبيعي (ln) مقابل اللوغاريتم العشري (log)
ln(x) هو اللوغاريتم ذو الأساس e (~2.71828)، يُستخدم في حساب التفاضل والتكامل والنمو المستمر.
log(x) هو اللوغاريتم ذو الأساس 10، يُستخدم في الهندسة (الرقم الهيدروجيني، الديسيبل، مقياس ريختر).
log_2(x) هو اللوغاريتم الثنائي، يُستخدم في علوم الحاسوب ونظرية المعلومات.
الخصائص الأساسية
log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y)
log_b(x/y) = log_b(x) - log_b(y)
log_b(x^n) = n * log_b(x)
log_b(1) = 0 و log_b(b) = 1
قيود المجال
يجب أن يكون المتغير x موجبًا (x > 0). يجب أن يكون الأساس b موجبًا وغير مساوٍ لـ 1 (b > 0، b ≠ 1).
لوغاريتمات الصفر أو الأعداد السالبة غير معرّفة في نظام الأعداد الحقيقية.
تحل حاسبة اللوغاريتم أربعة أنواع من المسائل. في الوضع الرئيسي تحسب log_b(x) لأي أساس موجب يختلف عن 1: مثلاً log_2(8) = 3 لأن 2^3 = 8، وlog_10(1000) = 3 لأن 10^3 = 1000، وln(e²) = 2. وضع ‘إيجاد الأساس’ يجد b باستخدام المعادلة b = x^(1/y). وضع ‘إيجاد المتغير’ يحسب x = b^y عند معرفة الأساس والنتيجة. وضع ‘الأس’ يرفع b إلى القوة y وهو العملية العكسية للوغاريتم. جميع الأوضاع تستخدم صيغة تغيير الأساس: log_b(x) = ln(x)/ln(b). اللوغاريتم الطبيعي ln يستخدم الأساس e ≈ 2.71828 ويظهر في حساب التفاضل والتكامل والنمو المستمر. اللوغاريتم العشري log_10 يُستخدم في الرقم الهيدروجيني والديسيبل ومقياس ريختر. اللوغاريتم الثنائي log_2 أساسي في علوم الحاسوب.